L’intonazione naturale è un sistema di accordatura che si basa sulle leggi fisiche del suono e in particolare sull’analisi armonica di Fourier. In questo modello, gli intervalli musicali derivano dai rapporti tra le frequenze della serie armonica: per esempio, l’ottava corrisponde a un rapporto di 2:1 (il secondo armonico di una nota coincide con la fondamentale dell’altra), la quinta a 3:2, (il terzo armonico di una nota coincide con il secondo dell’altra), la quarta a 4:3, (il quarto armonico di una nota coincide con il terzo dell’altra) e così via. Questi rapporti hanno una caratteristica sorprendente: sono percepiti dall’orecchio come particolarmente consonanti, perché rispecchiano il modo in cui le vibrazioni di una corda o di una colonna d'aria generano naturalmente i loro armonici.
Questa intonazione funziona perfettamente all’interno di una singola tonalità, ma quando si cerca di trasportare la musica in altre, gli intervalli non combaciano più. È qui che emergono altri intervalli che possiamo definire “Pseudo Naturali” come rapporti tra intervalli “naturali”. Si può notare che tutti gli intervalli naturali emergono da quella che viene chiamata la serie superparticolare, una forma matematica che ha avuto un ruolo fondamentale nello sviluppo della teoria musicale antica e medievale. Una frazione superparticolare è una proporzione del tipo (n+1)/n, come 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8 o 16/15 che, guarda caso, sono proprio i rapporti più consonanti della serie armonica. I teorici pitagorici e successivamente Boezio consideravano queste proporzioni come l’essenza stessa dell’armonia, il legame tra matematica e musica, tra ordine numerico e bellezza.
In altre parole, l’intonazione naturale e le proporzioni superparticolari sono due facce della stessa medaglia: la prima descrive un sistema musicale che sfrutta le leggi acustiche per generare intervalli puri, la seconda ne esprime la radice numerica in forma semplice ed elegante.
In questo schema si vede come nasce più precisamente il legame tra la serie superparticolare e i 12 intervalli naturali della musica:
Si può notare come tutto si sviluppi all’interno della prima proporzione superparticolare 2/1 (e quindi all’interno della prima ottava musicale) ed esistano due tendenze complementari e opposte, una che tende verso l’1 (la fondamentale) e l’altra che tende verso il 2 (l’ottava della fondamentale). La prima tendenza è quella che partendo da 4/3 passa per i rapporti superparticolari 5/4, 6/5 e 9/8 arriva a 16/15 (il semitono naturale), mentre la seconda si ottiene ribaltando i rapporti superparticolari appena ottenuti e moltiplicando il risultato per 2, per normalizzare i nuovi rapporti all’interno della prima ottava. Per ogni intervallo musicale superparticolare, in sostanza, si ottiene l’intervallo musicale complementare coincidente con quel particolare rapporto che moltiplicato per l’intervallo di partenza permette di ottenere 2 come risultato:
4/3, ribaltato 3/4, che normalizzato diventa 3/2 (dal quarto grado musicale si ottiene il quinto). Si osservi che quarta e quinta sono intervalli complementari (nel senso che complementano l’ottava), infatti:
5/4, ribaltato 4/5, che normalizzato diventa 8/5 (dal terzo grado musicale si ottiene il sesto bemolle). Si osservi che terza e sesta bemolle sono intervalli complementari, infatti:
6/5, ribaltato 5/6, che normalizzato diventa 10/6 = 5/3 (dal terzo grado bemolle si ottiene il sesto). Si osservi che terza bemolle e sesta sono intervalli complementari, infatti:
9/8, ribaltato 8/9, che normalizzato diventa 16/9 (dal secondo grado si ottiene il settimo bemolle). Si osservi che seconda e settima bemolle sono intervalli complementari, infatti:
16/15, ribaltato 15/16, che normalizzato diventa 30/16 = 15/8 (dal secondo grado bemolle si ottiene il settimo grado). Si osservi che seconda bemolle e settima sono intervalli complementari, infatti:
Sappiamo che nella musica esistono 12 qualità (Croma) distinti. Considerando che dalla normalizzazione dell’1 (la fondamentale) si ottiene il 2 (l’ottava che però ha lo stesso Croma di 1), abbiamo ottenuto finora in totale 11 croma (gradi): il Croma musicale mancante nel ragionamento altro non è che l’intervallo di tritono (la quinta diminuita) che si trova tra il 4/3 e il 3/2. Questo intervallo al centro tra le due tensioni coincide matematicamente con la radice di 2, che però sappiamo essere un numero irrazionale e quindi per sua stessa natura non esprimibile come rapporto tra due numeri interi.
Dal ragionamento fatto finora possiamo notare due aspetti interessanti. Il primo è che esistono alcuni rapporti superparticolari come 7/6, 8/7, (compresi tra 6/5 e 9/8) e 10/9, 11/10, 12/11, 13/14, 14/13 e 15/14 (compresi tra 9/8 e 16/15) che non corrispondono ad alcun grado della scala cromatica musicale. Il secondo è che il tritono (la quinta bemolle) viene ovviamente saltato dalla serie dei primi rapporti superparticolari e quindi dobbiamo cercare di approssimarlo con dei superparticolari successivi che possano avvicinarsi il più possibile alla radice di 2 e che abbiano i termini del rapporto più piccoli possibili.
Ecco i primi tre rapporti superparticolari che approssimano bene il tritono:
25/18: la prima approssimazione differisce di 0,025 dalla radice di 2 ma ha i termini del rapporto più piccoli possibili;
45/32: la seconda approssimazione differisce di 0,008 dalla radice di 2 ma ha i termini del rapporto più grandi del primo caso;
64/45: la terza approssimazione differisce di -0,008 dalla radice di 2 ma ha i termini del rapporto ancora più grandi del secondo caso;
Definiremo questi 3 intervalli di tritono “Pseudo Naturali” per il fatto che rappresentano dei rapporti superparticolari tra armonici (molto grandi) che tendono verso un grado musicale che però non può essere per sua stessa natura Naturale.
Possiamo osservare inoltre che emergono dalle distanze minime tra tutti gli intervalli ad intonazione naturale, tre tipi di semitono (due superparticolari e uno no) e due tipi di tono (entrambi superparticolari), come si può osservare dalla seguente figura:
Dei 3 Semitoni l’unico naturale sarà il 16/15 mentre gli altri due, il 25/24 e il 135/128 saranno Pseudo Naturali. Dei 2 Toni il 9/8 sappiamo essere Naturale mentre il 10/9 sarà considerato Pseudo Naturale.
La classificazione generale si conclude con tutte le frazioni che si possono ottenere da prodotti tra rapporti pseudo naturali che verranno classificate come “Innaturali” all’interno della teoria della consonanza platonica.
Sulla base di queste considerazioni e classificazioni emerge il concetto di Consonanza Platonica teorizzata da Andrea Cutri nel 2010.
Questo strumento analizza tutti i possibili accordi musicali composti da 2 a 12 note, considerando i mutui intervalli esistenti tra ciascuna nota e tutte le altre e stimando quanti e quali tra questi possano conservare i rapporti superparticolari dell’intonazione naturale e quanti invece non possano conservarli.
A ciascuna tipologia di intervallo tra copie di note dell’ accordo (Naturali, Pseudo Naturali ed Innaturali) viene dato un peso numerico specifico basato su criteri di consonanza, ossia in termini di quanto l’intervallo in questione si discosti o meno dall’intonazione naturale e in base a quanto siano più o meno grandi i termini della frazione rappresentante. Sommando i pesi ottenuti per ciascun intervallo della struttura armonica e dividendo per il numero di note che la compongono si ottiene un valore numerico medio di consonanza esclusivo per quello specifico accordo che chiameremo consonanza platonica dell’accordo. Confrontando i valori di consonanza platonica ottenuti per ciascun accordo possibile della musica otteniamo un criterio di classificazione del grado di consonanza intrinseca delle differenti strutture musicali.
La parola “platonica” si riferisce proprio al fatto che tale grado di consonanza non è soggettivo o arbitrario, ma si ottiene come conseguenza diretta dei principi matematici e fisici, universali ed eterni della Musica.
